Matematika - Perpangkatan dan Akar Bilangan

Perpangkatan dan Akar Bilangan

1.1.1 Perpangkatan

Perpangkatan bilangan adalah perkalian berulang atau berganda suatu bilangan dengan faktor-faktor bilangan yang sama. Bentuk perpangkatan adalah sebagai berikut.

a × a × ..... × a = aⁿ

n faktor

Bentuk umumnya adalah aⁿ, di mana a disebut bilangan pokok atau bilangan dasar, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.

Contoh :

a.   2³ (dibaca dua pangkat tiga)    = 2 × 2 × 2 = 8

b.   5² (dibaca lima pangkat dua)   = 5 × 5 = 25

Perpangkatan bilangan sangat berguna untuk meringkas bentuk perkalian berulang dalam jumlah besar.

Selanjutnya kita akan mempelajari beberapa sifat yang berlaku dalam perpangkatan. Terdapat 5 sifat operasi perpangkatan, yaitu untuk a,b ∈ R dan m,n bilangan bulat berlaku :

1.   (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

2.   a^m × aⁿ = a^m+n

3.   a^m : aⁿ = a^m−n dengan a ≠ 0

4.   (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ dengan b ≠ 0

5.   (a^m)ⁿ = a^m×n

Pada perpangkatan, bilangan pokok dapat berupa bilangan bulat maupun pecahan, demikian juga untuk pangkat atau eksponen. Pangkat juga dapat berupa bilangan nol. Dalam perpangkatan, kedua komponen (bilangan pokok dan pangkat) sama pentingnya. Namun demikian, perubahan hasil perpangkatan terutama ditentukan oleh nilai pangkatnya.

Pangkat dapat berupa bilangan nol, bilangan bulat (positif dan negatif), bilangan pecahan (rasional) dan bilangan irrasional. Bilangan irrasional tidak dibahas pada bahan ajar ini. Bagaimana jika suatu bilangan dipangkatkan dengan nol? Sembarang bilangan bila dipangkatkan nol akan menghasilkan nilai 1, tidak perduli apakah bilangan pokoknya merupakan bilangan positif atau negatif.

Baik bilangan pokok yang merupakan bilangan bulat maupun pecahan, bila dipangkatkan dengan 1 maka hasil perpangkatannya bernilai tetap sama yaitu bilangan itu sendiri.

Latihan

1.   Sederhanakan bentuk pangkat berikut.

      a.   (-4 m³ n⁴)² : (64 m n²)³

      b.  

      c.  

2.   Sederhanakan bentuk pangkat berikut. Kemudian nyatakan dalam pangkat positif.

      a.    

      b.  

      c.  

3.   Jika a = 2 dan b = 3, tentukan nilai dari :

      a.  

      b.      

      c.  

1.1.2 Akar Bilangan

Pada dasarnya pengertian akar bilangan dapat dijelaskan melalui perpangkatan. Akar bilangan merupakan perpangkatan dengan pangkat/ eksponen bilangan pecahan. Pangkat bilangan pecahan disebut juga pangkat rasional. Secara umum definisi akar bilangan adalah sebagai berikut.

Definisi :   (dibaca: akar n dari bilangan a) adalah bilangan yang apabila dipangkatkan dengan n hasilnya sama dengan a.

 dapat juga ditulis

 disebut bentuk akar (radikal),

n disebut indeks (pangkat akar),

a disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan a bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, a dapat berupa bilangan riil negatif.

Contoh :

Akar bilangan 2 atau sama dengan pangkat

 =  =  =  =  = 2¹ = 2

Bentuk akar terbagi atas 2 jenis :

1.   Akar senama

Suatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeks (pangkat akar) nya sama.

Contoh:

, mempunyai indeks 2

2.   Akar sejenis

Suatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya sama.

Contoh:

 2 5 mempunyai indeks 3, radikannya 2

Seperti halnya bilangan pangkat, bentuk akar pun memiliki sifat-sifat tertentu, untuk a,b bilangan riil dengan n bilangan asli berlaku :

1.  

2.    =  dengan b ≠ 0

3.   p ± q = (p ± q)

Catatan

      Untuk menyederhanakan penyebut dari bentuk pecahan  atau  yaitu dengan cara mengalikan pecahan dengan bentuk sekawan dari penyebutnya. Bentuk sekawan dari  +  adalah -  atau sebaliknya.

      Bentuk  dapat diubah menjadi bentuk () dengan a,b  R dan a > b.

Bukti :

()²    = a  2 + b

                   = (a + b) 2 

()     =

Jadi   =

Latihan

1.   Tentukan nilai dari bentuk akar berikut ini. Kemudian, manakah yang merupakan bilangan irasional?

      a.  

      b.  

      c.  

      d.  

      e.  

2.   Sederhanakan operasi bentuk pangkat berikut.

      a.  

      b.   (²

      c.   (5(3  2)

      d.   (3)()

3.   Diketahui p = 5 + , q = 6 +  dan r = 8  .

      Tentukan bentuk paling sederhana dari 2p + q – 2r.

4.   Diketahui sebuah persegipanjang dengan panjang (7  3) cm dan lebar (2 + ) cm. Berapa luas persegipanjang tersebut?

5.   Jika x = ( +   ) dan y = ( +   ), tentukan nilai dari x.y.

6.   Sederhanakan bentuk akar berikut.

      a.  

      b.  

      c.  

      d.  

7.   Sederhanakan penyebut dari bentuk pecahan berikut.

      a.  

      b.  

      c.